leyes del algebra de Boole y ley de morgan

Leyes Básicas del Álgebra de Boole

• Leyes básicas del Álgebra de Boole:

– Leyes conmutativas de la suma y multiplicación.

– Leyes asociativas de la suma y multiplicación.

– Ley distributiva.

• Son las mismas que las del álgebra ordinaria.

Leyes Conmutativas

• El orden en que se aplica a las variables la operación OR es indiferente:

A+B = B+A

• El orden en que se aplica a las variables la operación AND es indiferente:

AB = BA

Ley conmutativa de la suma para dos variables

Ley conmutativa de la multiplicación para dos variables

Leyes Asociativas

• Al aplicar la operación OR a más de dos variables, el resultado es el mismo independientemente de la forma en que se agrupen las variables:

A + (B + C) = (A + B) + C

• Al aplicar la operación AND a más de dos variables, el resultado es el mismo independientemente de la forma en que se agrupen las variables:

A (BC) = (AB) C

Ley asociativa de la suma para tres variables

Ley asociativa de la multiplicación para tres variables

Ley Distributiva

• Aplicar la operación OR a dos o más variables y luego aplicar la operación AND al resultado de la operación y a otra variable aislada, es equivalente a aplicar la operación AND a la variable aislada con cada uno de los sumandos y luego aplicar la operación OR a los productos resultantes.

• Esta ley también expresa el proceso de sacar factor común, en el que la variable común se saca como factor de los productos parciales.

A(B + C) = AB + AC

Ley distributiva para tres variables

Reglas Básicas del Álgebra de Boole

Muy útiles para la manipulación y simplificación de expresiones booleanas.

1. A + 0 = A

2. A + 1 = 1

3. A ·0 = 0

4. A ·1 = A

5. A + A = A

6. A + A = 1

7. A ·A = A

8. A ·A = 0

9. A = A

10. A + AB = A

11. A + AB = A + B

12. (A + B)(A + C) = A + BC

A, B, o C pueden representar una única variable o una combinación de variables.

Leyes de Morgan

Para todo par de variables lógicas a, b 0 A, se cumple...

 a + b = a*b y a*b =a + b

Para demostrar esto: a + b = a*b

Si demostramos que siempre se cumple (a + b) + (a*b) = 1 y (a +b) *(a*b) = 0, es porque    (a + b) y (a*b) son siempre opuestos, o sea, porque (a +b) y(a*b) son siempre iguales.

(a+ b) * (a *b) = [(a + b)+a] * [(a + b)+b] = (1+b) * (1+a) = 1*1 = 1(a + b) * (a*b) = [a*(a*b)] + [b*(a*b)] = (0*b) + (0*a) = 0+0 = 0

Estas dos leyes son muy importantes, ya que permiten pasar de expresiones en sumas lógicas a expresiones equivalentes en productos lógicos.