complementos

Los complementos se utilizan para simplificar la operación de resta y efectuar manipulaciones lógicas.


Hay dos tipos de complementos para cada sistema de base r: el complemento a la base (complemento a r) y el complemento a la base disminuida (complemento a r-1).

Si sustituimos el valor de la base r en estos nombres, los dos tipos son el complemento a dos y el complemento a uno, en el caso de los números binarios, y el comportamiento a diez y el complemento a nueve en el caso de los números decimales.


Complemento a la base disminuida


Dado un número N en base a r que tiene n dígitos, el complemento a (r - 1) de N se define como (rn - 1) - N. En el caso de números decimales, r = 10 y r - 1 =9, así que el complemento a nueve de N es (10n - 1) - N. En este caso, 10 n representa un número que consiste en un uno seguido de ceros. 10n - 1 es un número representado pos n nueves.


Por Ejemplo, si n = 4, tenemos 104 = 10,000 y 104 - 1 =9999


De esto se sigue que el complemento a nueve de un número decimal se obtiene restando cada digito nueve.


En caso de LOS NÚMERO BINARIOS r = 2 y r - 1 = 1, así que el complemento a uno de N es (2n -1) - N. Aquí también, 2n se representa con un número binario que consiste en un uno seguido de n ceros. 2n -1 es un número binario representado por n unos.


Por Ejemplo, si n = 4, tenemos 24 = (10000)2 y 24 - 1 = (1111)2


El complemento a uno de un número binario se obtiene restando cada digito a uno. Por lo tanto el complemento a uno de un número binario se forma cambiando los unos a ceros y los ceros a unos.


Por Ejemplo


El complemento a uno de 1011000 es 0100111


El complemento a uno de 0101101 es 1010010


El complemento a (r - 1) de los números octales y hexadecimales se obtiene restando cada dígito a 7 y F (15 decimal), respectivamente.






Complemento a la Base


El complemento a r de un número N de n dígitos en base a r se define como rn - N, para N no igual a 0, y 0 para N = 0. Si comparamos con el complemento a (r - 1), veremos que el complemento a r se obtiene sumando 1 al componente a (r - 1), ya que rn - N = [(rn - 1) -N] + 1. Así pues, el complemento a 10 del complemento del número decimal 2389 es 7610 + 1 = 7611, y se obtiene sumando 1 al valor del complemento a nueve. El complemento a dos del número binario 101100 es 010011 + 1 = 010100, y se obtiene sumando 1 al valor del complemento a uno.


Puesto que 10n es un número que se representa con un uno seguido de n ceros, 10n - N, que es el complemento a 10 de N, también puede formarse dejando como están todos los ceros menos significativos, restando a 10 el primer dígito menos significativo distinto de cero, y restando a 9 los demás dígitos a la izquierda.


El complemento a 10 de 012398 es 987602


El complemento a 10 de 246700 es 753300


El complemento a 10 del primer número que se representa con un uno seguido de n ceros, 10n - N, que significa y restando a 9 todos los demás dígitos. El complemento a 10 del segundo número se obtiene dejando como están los dos ceros de la derecha, restando 7 a 10 y restando 9 los otros tres dígitos.


De forma similar, el complemento a dos se forma dejando como están todos los ceros menos significativos y el primer uno, y sustituyendo los unos por ceros y los ceros por unos en las demás posiciones a la izquierda.


El complemento a dos de 1101100 es 0010100


El complemento a dos de 0110111 es 1001001


El complemento a dos del primer número se obtiene dejando como están los dos ceros menos significativos y el primer uno, y sustituyendo después los unos por ceros y los ceros por unos en las cuatro posiciones más significativas. El complemento a dos del segundo número se obtiene dejando como está el uno menos significativo y complementando todos los demás dígitos a la izquierda.





Si el número N original lleva punto, deberá quitarse temporalmente para formar el complemento a r o a (r - 1), y volver a colocarlo después en el número completando en la misma posición relativa.





El complemento a r de N es rn - N. El complemento del complemento es rn - (rn - N) = N, o sea, el número original.